ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

5.1 Ecuación diferencial lineal de segundo orden:

Vamos a concentrarnos ahora en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Antes de todo vamos a presentar algunas definiciones importantes

Como ya se ha dicho en la introducción una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden presenta la siguiente forma general:

Donde los coeficientes de la función y y los de sus derivadas son funciones exclusivas de la variable independiente x.

En el caso de que todos los coeficientes sean constantes, se tiene una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:

5.2 solución general de la ecuación homogénea.

La forma general de una ecuación en diferenciales de segundo orden y homogénea es la siguiente: 

(a₂.E² + a₁.E + a₀).y[n] = 0

Suponemos que la ecuación tiene soluciones de la forma exponencial, así: 

Se toman los dos primeros desplazamientos y se sustituyen en la ecuación. 

 A partir de la identidad anterior obtenemos la ecuación característica, la cual es una ecuación cuadrática que posee dos soluciones, a saber:
  

De acuerdo con el discriminante, las dos soluciones pueden ser: 
 

a) Reales y diferentes, en cuyo caso la solución general es una combinación lineal de las funciones: 

b) Reales iguales, en cuyo caso las dos soluciones son iguales y, por lo tanto se hace necesario encontrar la segunda solución. Puede mostrarse que la solución general de la homogénea en este caso es:

c) Complejas conjugadas, es decir     

.
En este caso, la solución general de la homogénea es:

 

5.4 casos de raíces reales y diferentes:

Tenemos una ecuación de la forma

Ay” +by' + cy = 0

Todas las soluciones de este tipo de ecuaciones son funciones exponenciales por lo que su solución serán funciones del mismo tipo.

Demostración

Y = emx y' = memx y” = m2emx.

am2emx + bmemx + cemxemx

(am2 + bm + c) =0m = son las raíces del polinomio

CASO I

 Raíces real y diferente

 La solución para este tipo está dada por

 La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 em2x

 CASO II

 Raíces real e igual

 La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 Xem2x 

5.7 casos de raíces complejas:

Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración.

Sea z = r_x un número complejo. Hemos dicho que s_y es una raíz n-ésima de z, siendo s = r^1/n e y = (x + 2·k·pi)/n, con k C Z. 

Si llamamos w_k = s_y, cuando k C {0, 1,2,..., n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas x_k.
Sea t C Z, t distinto de 0, 1,2,..., n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es:

t = p·n + r, con 0 <= r < n, y r número entero.

Si notamos por x_t = s_y, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:

y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·pi

De donde x_t y x_r tienen el mismo argumento, y por tanto x_t = x_r. Además, x_r es uno de los x_k que dijimos antes, ya que r C {0, 1,2,..., n-1}.

En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = r_x, se procede de la siguiente manera:

• El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.
• El argumento viene dado por la fórmula:

y = (x + 2·k·pi)/n dándole a k los valores 0, 1,2,..., n-1

5.7 Casos de raíces dobles:                 

Una ecuación de segundo grado^1 2 o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

Donde x  representa la variable y a, b y c son constantes;  a  es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

5.9  solución relativa al segundo miembro de la ecuación no homogénea. (Casos particulares).Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por la expresión (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = F[n], debemos sumar una solución particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = 0. Para hallar la solución particular necesaria, empleamos el método de los coeficientes indeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por aplicación repetida del operador E. Como en el caso de las ecuaciones diferenciales, si cualquier término de la expresión elegida inicialmente para Y_p   es repetición de algún término de la solución complementaria (solución de la ecuación en diferencias homogénea), éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación. El proceso a seguir es análogo al empleado para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. El procedimiento a seguir se resume en la siguiente tabla.
Ecuación en diferencias (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = F[n] 


Cuando F[n]  está formada por la suma de varios términos, la selección apropiada para  Y_p es la suma de las expresiones Y_p correspondientes a cada uno de los términos por separado. Ejemplo:Hállese una solución completa de la ecuación en diferencias:(E² - 5E + 6) = n+2ⁿ.Solución.
En este caso la ecuación característica es    y a partir  de sus raíces  ,  se halla la solución complementaria que es  y_c = c₁2ⁿ  + c₂ 3ⁿPara hallar una solución particular, se ensayaría normalmente con la expresión y_p = An + B + C2ⁿ   según la tabla anterior.

Como ocurre que el término  C2ⁿ  es repetición de un término de la solución complementaria, debemos multiplicar C2ⁿ   por n antes de incorporarlo a la expresión que hemos elegido para  y_p.Por lo tanto,  y_p  tiene la forma siguiente:  y_p = An + B + Cn2ⁿ   . Enseguida sustituimos la anterior expresión en la ecuación en diferencias obteniéndose la siguiente expresión: 
2An + (-3A + 2B) - 2C2ⁿ   = n + 2ⁿ5.10 Método de variación de parámetro:El método de variación de parámetros se hace muy útil para resolver ecuaciones diferenciales donde la función de salida no es una función polinómica, exponencial, suma de senos y cosenos o el producto o suma de estas (aunque es igualmente válido para el caso en que la función de salida sea una de las funciones antes citadas).Este método permite resolver cualquier ecuación diferencial lineal no homogénea siempre y cuando las integrales que se generan puedan resolverse.Una técnica para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes conocida como variación de parámetros. Cuando teníamos una ecuación diferencial de la siguiente forma:Y’’+p(x) y’+q(x) y= g(x),Se presentaba un problema con los métodos anteriores ya que la función de salida g(x) tenía que ser un exponencial o una suma de senos y cosenos o una función polinómica o la multiplicación entre todos los casos anteriores, es decir los métodos anteriores restringían la función de salida, lo que no pasa con la técnica de variación de parámetros, ya que esta técnica no restringe la función de salida g(x) y nos da la solución general para este tipo de ecuaciones. Si teníamos una ecuación diferencial con la forma:
Y’’+p(x) y’+q(x) y= g(x),
Además con P(x) y q(x) constantes, podíamos hallar la solución homogénea de esta ecuación y que estaba expresada como
YH=C1e^ (m1x)+C2e^ (m2x)
Donde las e eran dos pequeñas funciones que nombrábamos y1 y y2, la técnica de variación de parámetros parte de este hecho y nos dice que la forma que posee la solución particular de la ecuación es la siguiente:
YP= U1(x) y1+U2(x) y2,
Entonces lo que tenemos que hacer es encontrar los valores de las funciones U1(x) y U2(x). 
Para encontrar las funciones U(x) utilizamos las siguientes ecuaciones dadas por la técnica:
U1(x)=∫W1/w y U2(x) =∫W2/w,

donde w es el Wronskiano de y1 y y2, es decir w(y1,y2) que es igual al determinante de una matriz formada por las funciones y1 y y2 y sus derivadas y1’ y y2’, W1 y W2 son los Wronskiano respectivos, con la diferencia de que en W1 se cambia la columna de la función y1 y de la derivada y1’ por un cero y la función g(x) respectivamente y en el W2 se cambia la columna de la función y2  y de la derivada y2’ por cero y g(x) respectivamente. Una vez hallados los Wronskiano podemos entonces determinar la solución particular de la ecuación diferencial.

5.11 métodos de los coeficientes indeterminados: Vamos a limitar nuestro estudio al enunciado y manejo del método, sin entrar en los detalles teóricos del mismo. Recuerde que una serie de potencias representa a una función fi en un intervalo de convergencia I y que podemos derivarla sucesivamente, para obtener series para  etc. Por ejemplo, Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el método de las series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. Iniciamos con un ejemplo muy simple, pero que nos hará entender la mecánica del método. Ejemplo Usando series de potencias halle la solución de la ecuación. Solución  Supongamos que la solución se puede expresar como Entonces, Y´ esta dada por Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos que Ahora debemos ajustar los índices de las sumas de forma que aparezca  en cada serie. Igualando los coeficientes correspondientes Para. Esta fórmula genera los siguientes coeficientes De donde obtenemos que la solución está dada por Aquí hemos usado la expansión en series de potencias para la función exponencial Observación: esta ecuación diferencial puede ser resuelta de manera más simple por medio de separación de variables. Pero como dijimos, la idea es ilustrar el método. El siguiente ejemplo no puede ser resuelto por las técnicas estudiadas hasta el momento, a pesar de ser muy simple en apariencia. Ejemplo : Usando series de potencias resuelva la ecuación diferencial  Solución : Suponga que Es una solución de la ecuación diferencial. Entonces y Sustituyendo en la ecuación diferencial Ajustando los índices Igualando los coeficientes Para. De esta forma los coeficientes de la serie solución están dados por:    ·         Coeficientes pares: Coeficientes impares: De esta forma la serie solución se puede representar como la suma de dos series, una para las potencias pares con coeficientes en términos de  y otra para las potencias impares con coeficientes en términos de a1. Observación: la solución tiene dos constantes arbitrarias a0 y a1 tal como era de esperar para una ecuación diferencial de segundo orden. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento cuando la ecuación diferencial tiene condiciones iniciales. Ejemplo  Use el teorema de Taylor 1.1 para hallar la solución en serie de potencias del problema de valor inicial A continuación, use los primeros seis términos de la solución para aproximar los valores de Y en el intervalo    con un paso de avance de 0,1. Solución: La solución Y del problema de valor inicial puede expresarse por medio del teorema de Taylor como Con C=0. Como  y , tenemos que De donde obtenemos que Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos los valores de Y que se muestran en la siguiente tabla, además en la figura 1.1 se muestra la gráfica de este polinomio. x y x y 0 1 0.6 2.0424 0.1 1.1057 0.7 2.4062 0.2 1.2264 0.8 2.8805 0.3 1.3691 0.9 34985 0.4 1.5432 1 4.3 0.5 1.7620 1.1 528999 Observación: para una serie de Taylor entre más lejos estemos del centro de convergencia (en este caso C=0), menor es la precisión de nuestra estimación. Es importante tener claro que si las condiciones iniciales están dadas en x=a, debemos usar el desarrollo en series de potencias para la solución Y alrededor de C=a. Figura 1.1: Gráfica de y(x) Ejemplo : Encuentre una series de potencias para la solución general de la ecuación diferencial Solución  Como todos los coeficientes admiten desarrollo alrededor de x=0, podemos suponer que la solución "y" es de la forma Además, recuerde que  y Para toda. Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos que Multiplicando las series y simplificando tenemos que Igualando cada uno de los coeficientes a cero Sustituyendo estos valores en la serie tenemos que Para. Observación: algunas veces cuando necesitamos multiplicar dos series es útil la siguiente fórmula . 5.13 Ecuación diferenciales de orden N operador L. Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma: O usando otra notación frecuente: Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación  para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como: Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones. Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como: Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo. Resolución caso general Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo, ). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen la n funciones incógnita adicionales dadas por: Puesto que: El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como: Ecuación en diferencias de segundo orden no homogéneo Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por la expresión (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n], debemos sumar una solución particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a2E2 + a1E + a0) y(n) = 0. Para hallar la solución particular necesaria, empleamos el método de los coeficientes indeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por aplicación repetida del operador E. Como en el caso de las ecuaciones diferenciales, si cualquier término de la expresión elegida inicialmente para Yp   es repetición de algún término de la solución complementaria (solución de la ecuación en diferencias homogénea), éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación.   El proceso a seguir es análogo al empleado para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. El procedimiento a seguir se resume en la siguiente tabla. Ecuación en diferencias (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n] Cuando F[n]  está formada por la suma de varios términos, la selección apropiada para  Yp es la suma de las expresiones Yp correspondientes a cada uno de los términos por separado. Ecuación de Euler: Método de solución de la ecuación diferencial de Cauchy - Euler (también conocida como la ecuación equidimensional) Para solucionar esta ecuación se procede a suponer que la solución es de la forma y=x^m donde el valor de m debe se hallado. En este video se ilustra el procedimiento para resolver una ecuación diferencial de segundo orden que luego se hace extensible para ecuaciones diferenciales de orden superior. Se presentan tres casos al formarse una ecuación de segundo grado para m, con respecto a sus raíces: 1. Las raíces son reales distintas. 2. Las raíces son reales e iguales 3. Las raíces son complejas y conjugadas. Para plantear el nuevo método lo que haremos es explicar los pasos en una ecuación diferencial de segundo orden y luego generalizar todos los pasos del método para ecuación diferenciales de orden superior, pensemos entonces en la siguiente ecuación que cumple con la forma de Cauchy-Euler: a(x^2)y’’+bxy’+cy=g(x), pensemos por un momento acerca de cómo sería la forma de la ecuacion homogénea asociada, es decir la ecuación diferencial homogénea asociada es: a(x^2)y’’+bxy’+cy=0. El método nos dice entonces que plantemos una solución que tiene la siguiente forma: y=x^m, sin embargo, la ecuación nos sugiere que debemos hallar la primera y segunda derivada de esta ecuación, entonces tenemos: y’=(m)(x^m-1) y y’’=(m-1)(m)(x^m-2), reemplazando las expresiones obtenidas en la ecuación homogénea tenemos: a(x^2)[ (m-1)(m)(x^m-2)]+bx(m)(x^m-1)+c(x^m)=0, si simplificamos esta expresión haciendo uso de las propiedades de los exponentes, vemos que la ecuación adquiere la siguiente forma: a(m)(m-1)(x^m)+b(m)(x^m)+cx^m=0, sacando factor común tenemos: x^m[am(m-1)+bm+c]=0.  Para que esta igualdad se cumpla vemos que necesariamente el término del corchete tiene que ser cero, entonces: [am(m-1)+bm+c]=0, como podemos observar la expresión anterior es una ecuación cuadrática, ya que si la reorganizamos tenemos:am^2+(b-a)m+c= 0, entonces si es posible encontrar los valores de m que hagan que se cumpla esta igualdad llegamos a la solución de la ecuación diferencial dada al comienzo ya que habíamos planteado que su solución era: y=x^m. Utilización de las series de potencias en la resolución de ecuaciones diferenciales: Método para resolver una ecuación diferencial mediante el uso de series de potencias. Se explica cómo operar el símbolo sumatoria para operaciones básicas como son la derivación y enfasamiento de tal forma que se puedan encontrar los coeficientes inderminados de la solución en forma de serie de potencias para el caso particular de una ecuación de primer orden, la cual luego se procede a verificar mediante separación de variables En algunos casos es necesario derivar nuevamente para lo cual se hace necesario también correr el número del que inicia la sumatoria. La idea es que podamos expresar todo el problema en términos de una sola suma, para lo cual se hace necesario el procedimiento de enfasar que consiste en que se logre que las x arranquen en la misma potencia y que tengan los mismos índices. Una de las partes más complicadas para solucionar una ecuación diferencial mediante el uso de series es enfasarlas, para lo que necesitamos llamar k al exponente en ambos casos, y hacemos el cambio en cada suma de forma separada y luego procedemos a despejar en esa ecuación a “n” para convertir cada una de esas sumas en términos de k. La idea es que la suma ya no arranque desde “n” sino desde “k”.